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．費爾茲獎與阿貝爾獎為數學界重要的獎項，其中費爾茲獎由國際數學家大會中的數學家費爾茲因想促進學術交流而於一戰後開始舉辦，而阿貝爾獎則為數學家阿貝爾 200 週年誕辰時（2003 年）開始。
．柯恩提出「力迫法」解決了在自然數與實數間是否存在著另一種無限的可能，因而在1966 年得到費爾茲獎；佩雷爾曼透過「里奇流」證明了數學百年難題「龐加萊猜想」於2006 年得獎；米爾札哈尼為首位獲費爾茲獎的女性科學家，研究在雙曲空間中的雙曲曲面，為人類提供更有效率的方式解釋曲面上的運動。
．數學家透過思考數字與數字間或點與點間，是否有數字存在，或無限存在的可能性，有時甚至是為了了解如何計算出更有效率的方式來呈現曲面上的運動，而這富有想像力的思維模式，才是推動科學往前最好的燃料。

筆者於今（2025）年有幸去了一趟北歐之旅，除了感受諾貝爾和平獎〔註〕帶來的平和氣息之外，當天下午也到了皇宮公園（the Royal Palace in Oslo）的阿貝爾之丘，瞻仰阿貝爾紀念碑上的數學大師阿貝爾（Niels Henrik Abel），足足來了一趟數學與和平之旅，既然這樣就以此為契機來談點數學吧。

〔註〕諾貝爾獎和平獎頒獎典禮在挪威奧斯陸舉行。

為什麼諾貝爾獎沒有數學獎？數學界的桂冠是什麼？

這個問題幾乎每年諾貝爾獎頒獎時期都會被拿出來討論一次。首先，諾貝爾獎的設立是根據瑞典化學家諾貝爾（Alfred Bernhard Nobel）的遺囑而設，遺囑上記載了給相關人士的金額之外，再將剩餘的金額成立基金，將利息每年分給「過去一年為全人類做出最大貢獻的人」。遺囑上言明頒給物理、化學、生理學或醫學、文學與和平等五個領域，從1901 年開始頒發，且於 1969 年增加頒發經濟學獎。從諾貝爾本人的遺囑來看，就是沒有設立數學獎。但為什麼諾貝爾不設立數學獎呢？有個小道消息是說諾貝爾跟當時的某位數學家有感情糾紛，不過這是假消息的成分居多。另有一說則是諾貝爾比較著重於理工應用，因此沒有設立數學獎。

費爾茲獎（Wikimediacommon）

費爾茲獎的正式名稱為國際傑出數學發現獎（International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics），此數學獎於 1936 年開始每四年在國際數學家大會（ International Congress of Mathematicians, ICM）頒發給 2～ 4 位有卓越貢獻且年齡不超過 40 歲的年輕數學家。費爾茲獎獎章的正面是希臘數學家、物理學家、發明家、工程師兼天文學家阿基米德（Archimedes）的側臉頭像，除了刻有作者與製作年份之外，還刻上一句拉丁文「TRANSIRE SUUM PECTUS MUNDOQUE POTIRI」，意為「超越他的心靈，掌握世界」。另一個籌辦多年的阿貝爾獎則是在阿貝爾 200 週年誕辰時開始運作，由挪威政府主辦，從 2003 年開始每年頒發給一位傑出的數學家，獎金比較接近諾貝爾獎的規模。以下筆者將著重介紹費爾茲獎與幾位得獎者的數學貢獻，讓讀者一窺近代數學的有趣之處。

阿貝爾獎頒發地點的阿貝爾紀念碑（作者提供）

職業數學家們都在研究什麼？

費爾茲獎創立的想法來自於一次世界大戰後的不和諧氣氛。當時的國際數學家大會對於德國與同盟國數學家能否加入會議的爭論產生分歧，1924年本應是美國主辦的 ICM，由於拉不到贊助，便改由公關能力強大的加拿大數學家費爾茲（John Charles Fields）主辦，會後費爾茲為了強化數學界的國際交流，將結餘款拿出設立一個獎項，就是後來所稱的費爾茲獎。費爾茲獎頒發初期的得獎者大多為毆陸的數學家，研究領域也多為數學基礎領域，後來逐漸走向開放與多元，並於 2014年迎來首位女性數學家得主。以下筆者從歷屆得獎者中挑選了三位得獎者，從他們的數學研究見證數學基礎與跨學科應用的創新取向，也讓讀者稍微能理解許多醫學、物理、天文等領域的應用，可能都來自看似抽象無用的數學！

第一位：保羅・柯恩（Paul Cohen, 1934 ～ 2007，1966 年得主）

從 18 世紀微積分蓬勃發展之後，整個數學領域迎來的是關於數學基礎的信仰危機，數學這顆知識大樹應該建立在什麼樣的基礎上？在微積分中處理得不清不楚的無限（無窮大與無窮小）問題，這個從古希臘時期就一直糾纏不清的問題，就像《鬼滅之刃》中的無限城，成為數學家不得不處理的棘手問題。直到康托爾（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，1845～ 1918）出現，才得以將「無限或無窮」視為一個整體來討論，他甚至還能將無窮集合比大小！兩個無窮集合，例如自然數與實數的集合，都是無窮集合，但是自然數｛1, 2, 3, 4, 5, …｝這個集合不是連續的，每一個元素之間之間有空洞；而實數（就是我們習慣的數線）這個無窮集，除了 1, 2, 3, …之類的正整數之外，還有分數以及像是√ 2、√ 3 之類的無理數，把所有實數按照大小標在數線上，點和點之間會密密麻麻沒有空隙，這種完全連續沒有中斷的整體就稱為連續統（continuum）。透過一個對一個的比較，可以發現自然數中的無限比實數中的無限還要「小」，但是有沒有一種無限是介於這兩者之間的呢？康托爾認為沒有這樣的無限集存在，這個就是他的連續統假設（continuum hypothesis），這個問題也是著名的希爾伯特（David Hilbert）23 個問題裡的第一個問題。

康托爾的集合論找到一種共同的語言與一致性的秩序（order）比較方式來討論數學這個整體，集合論儼然成為了數學的「基礎語言」。為避免集合論出現一些邏輯上的矛盾， 哲美羅（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo）和弗朗克爾（Abraham Fraenkel）在 20 世紀初建立了一套「公設」（axioms）系統，嚴格規範集合論的「遊戲規則」，稱為「哲美羅―弗朗克爾公設體系」（Zermelo-Fraenkel Set Theory，簡稱 ZF 集合論公設系統），並由此建立起了數學基礎的一派論述。不過哲美羅為了解決此系統中與排序有關的問題，引入了一個備受爭議的公設，就是選擇公設（axiom of choice）。當集合是有限個，或有明確組成規則時，可以制定選擇的規則選出元素成為一個新集合，例如有許多雙鞋子（可能是無限多），可以每雙都選擇左腳那隻鞋組成一個新集合；但是在沒有組成規則的集合中，像是無限多雙襪子，就必須靠選擇公設告訴我們「存在」一個由無限多雙襪子中各選一隻所組成的新集合。那麼哲美羅引進的這個選擇公設，對他的 ZF 集合論系統是必須的嗎？可以不要嗎？……【更多內容請閱讀科學月刊第672期】