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2013-12-01峨嵋劍對武當拳
528 期
Author 作者
任慶運／任教東吳大學物理學系。
話說武當山下開了一家「武當拳補習班」，求學者眾，生意興隆。某日老師宣佈要考試，於是全班摩拳擦掌努力練習。考試當天師徒過招，學生對老師出的一拳，依照所學也以一招武當拳回應，老師忽出一式峨嵋劍，霎時之間，血濺當場。至於後事如何，不知如何分解。
這種在武俠世界都匪夷所思的場景，在我們的中學數理教育，卻是司空見慣，以兩個例子為證。
第一例出自三民書局96 年8 月初版一刷的《普通高級中學數學（三）》。這一冊課本的中心課題是向量，第二章第3.5 節的標題是「空間向量的內積」。這一節的例題10 在 110 頁至111頁，題目及解答全文徵引如下。
設x，y，z 為實數，且x2 ＋ y2 ＋ z2 ＝ 36，試求2x － 3y ＋ 6z 的最大值與最小值，並求此時的x，y，z 之值。
解：依柯西不等式得
(2x － 3y ＋ 6z)2 ≤ [22 ＋ ( － 3)2 ＋ 62](x2 ＋ y2 ＋ z2 )，
即(2x － 3y ＋ 6z)2 ≤ 49 × 36，則－ 42 ≤ 2x － 3y ＋ 6z ≤ 42，而等號成立的條件為(x, y, z) ＝k(2, － 3, 6)，k 為非零實數，此時
x ＝ 2k，y ＝－ 3k，z ＝ 6k，
則(2k)2 ＋ ( － 3k)2 ＋ (6k)2 ＝ 36，整理得49 k2 ＝ 36，解得k ＝ ±6/7 。
當k ＝ 6/7 時，x ＝ 12/7，y ＝－ 18/7，z ＝ 36/7，此時2x － 3y ＋ 6z 有最大值42。
當k ＝－ 6/7 時，x ＝－ 12/7，y ＝ 18/7，z ＝－ 36/7，此時2x － 3y ＋ 6z 有最小值－ 42。
為了以下引述方便，這個解法稱為「數解一」。
第二例是物理問題，隨處可見，故不徵引出處。通常課本及參考書的敘述是：兩個不同質量m1、m2 的方塊並排，對m1 施力而推及m2 一起運動，求兩方塊之間的作用力。為了不用繪圖而便於敘述與想像，我把問題修改如下。
故障的一節餐車m1 與另一節車廂m2 聯結，用一個拖車拖曳餐車，聯結另一節車廂回廠維修。若拖車所施的力為F，求兩節車之間的作用力。 .......【更多內容請閱讀科學月刊第528期】