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初，粲與人共行，讀道邊碑。人問曰：「卿能諳誦乎？」曰：「能。」固使背而誦之，不失一字。觀人圍棋，局壞，粲為覆之。棋者不信，以帊蓋局，使更以他局為之，用相比較，不誤一道。其強記默識如此。——《三國志魏書王粲傳》

這段正史強調強記能力，他觀看別人下棋，棋局因故毀壞，王粲將其復原。別人不信，用頭巾蓋住棋局，請他用另一副棋擺出來，結果和覆蓋的棋局一子不差，這就將大家折服了！在三國演義中，也用同樣的情節，只是主角換成是張松，眾人仍是大為讚嘆。

這裡有兩個要點，第一是棋局崩，王粲還原，旁人不信，但也沒有其他人知道原局。於是延伸出第二點，以頭巾蓋棋盤，用另一副棋驗證，結果一子不差。第二點的行為，主要是驗證王粲的強記能力，但即使一子不差，也只能說在這次實驗中，王粲經過了考驗，但原先的棋局，是否真的被還原，仍無法得到證實，因為真相沒有人知道（或許王粲知道），只是經過第二點的驗證，下棋者會「比較」相信王粲真的還原了，但卻無從「證明」最先的棋局，是對或錯。

統計學的看法—四種可能

典故強調王粲的強記，隱含測試失敗，就會引起對還原棋局的不信任。但即使測試失敗真的發生，也不能「保證」還原的棋局一定是錯的，有可能在測試過程中，倍感壓力，反而失去水準，然而失敗卻會誤導對還原棋局的認知。如果還原棋局是對的，但測試未過，而造成誤判，這種錯誤是「擺對譜，卻被誤認是錯的」。表一將四種可能整理在一起，其中兩種錯誤的推論，二種正確的推論。

表一：對棋局判定的所有可能

當然棋局的判定，不會是上述表格的唯一應用。可以利用類似的表格，分析常見藥商宣稱新藥比舊藥更安全、更有療效的所有可能情形。實際上新藥的效能只會有兩種可能：一是較有效，另一種則是沒有比較有效（包含新舊效能一樣或新藥更差），因此如何確認哪個選項，便成了一項重要的工作。而我們的決定也只有兩種，所以跟表一雷同，只有四種可能。仿造復原棋局的表格，可以得到表二。

表二：對新藥療效推論的可能情形

兩個表格，有一個共通性，都要確認某些「假設」：表一復原棋局的正確；表二則為新藥的療效。接著透過一些驗證的程序，像王粲重新復原另一次的棋局，到新舊藥的對照實驗，再根據結果，決定接受或拒絕「假設」。這樣的流程，在生活中不斷的上演，統計學給了這樣的流程，一個專有的名詞，稱為「假設檢定」（test of hypothesis）。在統計學上，如果要確認的「假設」為H₀，一般化表示如表三。

從表三來看，錯誤有兩種分別稱為型一錯誤（H₀正確卻誤認為非；type I error）與型二錯誤（H₀ 不正確卻誤認為真；type II error），一般統計學稱型一、型二錯誤的機率為α、β。最理想的狀況是錯誤不要發生，但從王粲的例子來看，這要求太高，在檢定過程中，無可避免會產生這兩種錯誤。那麼退而求其次呢？即使無法讓α、β同時為0 ，但同時讓它們變小呢？有句話說「魚與熊掌不能兼得」，統計的理論可以證明，在固定的樣本數下，α、β兩者有抵換（trade off）的效果，降低其中一個，會以提升另一個機率做為代價。科普文章，並不適合在理論的證明上大作「文章」，但這種概念會影響到如何選定被檢定的「假設」，有需要用例子說明這種取捨關係。

表三：假設檢定

一個檢定的例子

審判也是一種檢定，對「嫌疑犯是無罪」的假設做檢定如表四。以極端的情形為例，如果採用「寧可錯殺百，不可放過一」的酷吏心態，任何嫌疑犯，都判有罪，則有罪而被誤判無罪的錯誤不會發生，β＝0。另一方面，即使嫌疑犯真的無罪，也一定被判有罪，型一錯誤α＝1。

如果採取「完全相信人本無罪」，任何嫌疑犯都判無罪，根本不可能發生型一錯誤，α＝0，但遺憾的是，β＝1。「毋枉勿縱」的「毋枉」 是不要冤枉好人，不犯型一錯誤；而「毋縱」是不要縱放惡徒，不犯刑二錯誤。理想的「毋枉勿縱」，在統計學裡是α＝0，且β＝0，做不到。孟子在於魚與熊掌不能兼得下，「捨魚而取熊掌」。在固定的樣本數下，α與β不能兼顧，要取何者呢？

從現實的社會觀點切入，有犯罪行為而未被揭露的「犯罪黑數」，向來就不少，這與有罪而被誤判無罪的型二錯誤相同，而犯型一錯誤則冤枉了好人。權衡之下，降低型一錯誤，減少濫殺無辜的可能，雖然付出提高型二錯誤的代價，但因為犯罪黑數原本就存在，廣義的「縱放」並沒有因此增加多少，而原本無罪卻被冤枉，這種無中生有的事，不論對當事人或整個社會而言，是非常嚴重的事，於是捨棄β先顧α，讓冤獄變少再說，圖一說明對H₀的態度與α的關係。

圖一：從α的機率來觀察對H₀ 的態度。

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參考資料
1. 黃文璋，《隨機思考論》，台北市，華泰文化， 2003 年。
2. Witte, R.S. & Witte, J. S.，蔡碧惠、邱心怡、游宜君等譯，《基礎統計學》，台北市，桂冠出版社， 2002 年。
3. 陳壽原，《三國志》，台灣商務， 2010 年。
4. 林品石註譯，呂氏春秋今註今譯，台灣商務， 2011 年。