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南海之帝為倏，北海之帝為忽，中央之帝為渾沌」，這是《莊子‧應帝王》裡頭提到的渾沌，在距今五十年（1963）的美國，一位麻省理工的氣象專家勞倫茲（Edward Lorenz）發表了一篇論文，重新開啟了渾沌學的大門。

無秩序的渾沌

Chaos 即渾沌，是「有秩序」的反義詞，是混亂的，常用來描述宇宙尚未形成之前的狀態：虛空、無形、無狀，沒有一定的模式（pattern），可說是一片混亂，有如盤古開天的神話：「天地渾沌如雞子，盤古生其中，萬八千歲，天地開辟」。在莊子寓言裡頭，渾沌是個倒楣鬼，待倏和忽不錯，結果得到的回報是被鑿了七竅而亡。倏忽也有時間很快之意，莊子的寓言可以表示：宇宙剛開始是像渾沌一樣，倏忽之際，變成有秩序。其他民族也有類似的說法，例如在美索不達米亞地區的創世紀神話，有一稱為提雅馬特（Tiamat）的渾沌怪獸，在一場神明之間的戰鬥中，提雅馬特戰死，屍體成了大地，宇宙（cosmos）就此誕生。

因此，Chaos 和Cosmos 是對立的概念，一個是渾沌、沒有秩序，而宇宙則是有秩序的，宇宙的誕生是從沒有次序的渾沌，倏忽間，成了有秩序。

三體問題開啟渾沌大門

1885 年，瑞典數學家馬格耐斯（Magnus Gustaf Mittag-Leffler）為了慶祝瑞典與挪威國王奧斯卡二世的60歲壽誕，特別舉辦一場數學競賽，看看有誰能解決太陽系星體動力學的問題，是否有數學上的解析解。最後競賽的榮耀給了來自法國的35 歲數學家彭加萊（Henri Poincare）。

所謂動力學的解析解，是能夠在任意給定物體的初始位置和速度的情形下，寫出位置隨時間變化的數學函數，藉此得知任意時間的位置。我們從最簡單的二體問題說起，兩個物體相互受到萬有引力的吸引而運動，就像地球繞著太陽一樣，根據牛頓的第二運動定律（F＝ ma），有質量、作用力，便可以知道下一個時間的位置。這個二階微分方程看似簡單，但由於萬有引力是和兩物體之間的距離平方成反比，是一個非線性的形式，並不容易得到解析解。但牛頓在數學上做了變數變換，將距離r 改成u ＝ 1 ／ r，並且將求解位置換成求解角度，使得原先非線性的問題轉換成線性的問題，因此有了解析解。

但從牛頓之後的一百多年，物理學家和數學家都沒辦法找到三體問題的解析解。彭加萊看待這個問題的策略是從代數形式（微分方程）的觀點轉到幾何的觀點，企圖證明三體的運動是穩定的。彭加萊創造一個稱為狀態空間（state space 或phase space）的工具，通常我們用位置和時間圖表示物體隨時間的位置變化，彭加萊圖則是位置和速度圖，若系統的動力行為是穩定的，則在狀態空間內是規則的軌跡，或趨於一點（如圖一）。

圖一：簡單的單擺實驗，此系統的狀態空間是由位置和速度所構成，在沒有摩擦力且擺幅小的情況，狀態空間內的軌跡如左下圖，
是呈現圓形。若系統內有摩擦力，則可以看到軌跡是螺旋狀向中心移動，表示單擺因摩擦力越擺越慢，擺幅則是越擺越小。

彭加萊雖然沒有求得解析解，但因為證明三體運動是穩定的，而贏得競賽獎金2500瑞典克朗，但戲劇性悲劇發生，彭加萊在該論文出版前發現當中的錯誤，他花了3585 瑞典克朗重新印刷更正，也因為這個錯誤，彭加萊發現三體問題當中的複雜現象，三體運動在狀態空間中沒有簡單而規則的軌跡，進而開啟了一門新科學。

蝴蝶效應

由於之後相對論和量子物理的光芒蓋過了彭加萊的發現，渾沌學說一直到勞倫茲的蝴蝶效應，才重新拍打出新的波瀾。……【更多內容請閱讀科學月刊第525期】