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近年來，Roguelike 類型遊戲含其變體Roguelike-like和Rogue-lite 大行其道。從遊戲的開山祖師《Rogue》到聲名大噪的《暗黑破壞神》（Diablo），再到近代的遺跡遊戲《Spelunky》、間諜遊戲《隱形公司》（Invisible Inc.）、極度抑鬱的《暗黑地牢》（Darkest Dungeon）乃至於卡牌遊戲《殺戮尖塔》（Slay the Spire），一直到去（2020）年火紅的《黑帝斯》（Hades），這些無疑地已經是遊戲市場中一種主流的遊戲類別。

而Roguelike 遊戲一般有以下兩大特點：

1. 永久死亡機制：如果玩家在遊戲中死亡，就必須從頭開始玩一整輪遊戲。
2. 隨機生成地圖：每一輪遊戲的地圖、道具、敵人等都是隨機生成的。

這樣的特性，導致玩家在每一輪遊戲都會面對全新的狀況，迫使他們無法死背某些既定的套路，必須充分掌握整個遊戲的基本原理，才能夠順利通關。

如上所述，「隨機生成」是Roguelike 遊戲的一大要素，因此本文便來討論一下機率與這類遊戲之間的關係。

《Rogue》是Roguelike 類型遊戲的開山祖師，圖為《Rogue》遊戲中的隨機生成地圖。（Artoftransformation, public domain, Wkipedia Commons）

什麼是獨立事件？

讓我們先討論相對比較簡單的獨立事件。為了簡單起見，我們以《殺戮尖塔》為例。《殺戮尖塔》遊戲總共分為3大關，每一大關都會有一個最終大魔王，而這些魔王會從3個候選魔王中隨機選擇，例如第一關有「大史萊姆」、「守護者」、「六角鬼」3個候選魔王。以下就假設程式是平均地從3個魔王中選一個出來，這樣在每一輪遊戲裡，第一關3個候選魔王出現的機率都是1∕3。

雖然說這3個都是第一關的最終大魔王，但其實他們的強度還是有一點差距，「大史萊姆」會比其他兩隻稍微弱一些。照此邏輯來看，我是不是可以瘋狂重啟遊戲，想辦法刷出「大史萊姆」，讓遊戲的難度變低呢？

舉例來說，假設我第一次開遊戲時出現「守護者」，第二次遊戲則出現「六角鬼」，我能不能立刻重開遊戲，因為第三次就會出現「大史萊姆」？

等等，不對！這是一個很嚴重的誤解！

機率1/3，不代表每3次會出現一次！
機率1/3，不代表每3次會出現一次！
機率1/3，不代表每3次會出現一次！

因為這個概念真的太重要也太常被誤解了，請容我講3遍。

就讓我們實際來算算「大史萊姆在3 次遊戲裡恰好出現一次」的機率是多少吧。如果是第一次遊戲時出現大史萊姆，後面兩次不是，那麼這件事情的機率是：

第一次是大史萊姆× 第二次不是大史萊姆×第三次不是大史萊姆= 1/3×2/3×2/3= 4/27

同理可證，只有第二次遊戲出現大史萊姆的機率，跟只有第三次遊戲出現大史萊姆的機率，一樣都是4/27。再把3個機率相加，就能得到「大史萊姆在三次遊戲裡恰出現一次」的機率 = 4/27 + 4/27 + 4/27 = 12/27。

這個機率顯然不是1！也就是說，機率為1/3，並不保證「每三次會出現一次」。如果這還不能說服你，那或許你可以這樣想：既然每一次重新開始遊戲，我們都假設遊戲會重新從3個候選魔王中選一個出來，而且這個選擇是獨立於過去歷史的，那前面遊戲出現的是哪一隻魔王、總共出現了多少次，都應該和我這次的選擇機率，完全沒有關係啊！

因此結論就是，不論前面已經出現多少次「守護者」或「六角鬼」，只要你按下了重啟遊戲的按鈕，這次新遊戲出現「大史萊姆」的機率，就仍然是1/3。

什麼是條件機率？

前面說的都是所謂的「獨立事件」，也就是說每一次隨機生成時，會生出什麼都跟其他事件沒有關係。例如玩遊戲時不會因為之前出現過「守護者」，這次出現「大史萊姆」的機率就會有所改變。

但並不是所有的「隨機生成」都可以用獨立機率來進行，我們以之前提到的《Spelunky》來說明。這是一款遺跡探索的2D 平台遊戲，玩家在遊戲中會從一個隨機生成的地圖上方入口出現，他必須想辦法在各種平台、障礙、陷阱、敵人之中，安全抵達地圖下方的出口。

你可能會產生這樣的想法：「那我就所有牆壁、平台、障礙、陷阱，全部都隨機生成不就好了嗎？」舉例來說，我可以把地圖切成很多區塊，並且在每一個區塊內，都隨機決定那邊的物件是什麼？這樣不行嗎？老實說，還真的不行。因為，你要怎麼保證所有物件都隨機決定而產生出來的地圖，存在著一條可以從上方走到下方的路？搞不好所有的路都被各種物件堵死了啊！

你也可以這樣想像：就算只是要生成一個很簡單的「迷宮」，如果牆壁隨便生，就很有可能生出一個根本走不出去的迷宮！

所以《Spelunky》用以下方式解決這個問題：

1.首先，把每一張地圖切成4×4，以下稱為「區塊」。



2.接著，著，準備一大堆跟「區塊」一樣大的地圖樣板，包含以下幾種：

A 類：只能通到左邊或右邊。
B 類：只能通到左邊、右邊、下面。
C 類：只能通到左邊、右邊、上面。

3.程式接下來會想辦法生出一條「保證可以抵達出口的道路」。首先，從最上面的那條橫排中，隨機選擇一個區塊設置入口。

4.然後再從入口開始，隨機生一條能抵達最下層的通道與對應的出口 。

5.接著在上圖中黃色的地方，都從A、B、C 三種樣板裡選出可以完成該方向移動的樣板。例如，如果有一個區塊要通往其正下方的另一個區塊，那麼位於上方的區塊就必須要有往下的路，所以必須是B類樣板；而下方的區塊則需要和上方相通，因此只能是C類樣板。以上方的圖為例，每一格黃色要抽出的對應類型樣板如下：

透過以上方式，就保證了我們一定可以生出一張「存在從入口到出口路徑」的隨機地圖。這邊我們省略了一些技術性的細節，例如在第4步驟中的那條通道要怎麼產生等。有興趣的朋友，也可以上YouTube 搜尋「How (and Why) Spelunky Makes its Own Levels」，看看以上操作的細節。

你或許會注意到在這個狀況下，各個格子的機率就不是
獨立的了！更明確的說，它們會取決於一個條件機率。

簡單來說：
1. 我們首先生出一條黃色路徑X。
2.「給定X」之後，再生出其他各個格子的地圖。

也就是說，我們是先隨機生成X，然後在「給定X 的這個條件下」，依據一個「條件機率」生出地圖。

有興趣的人其實也可以自行證明看看，在這個狀況下，每一個格子抽出來的樣板不是獨立的。懶得證的人也可以這樣想：如果每一個格子的樣板抽取是獨立的，那不管我上面的區塊有沒有通往下面的路，下面的區塊抽出沒有向上通路的樣板的機率都是一樣的；換言之，你一定會有機率抽出一張都是死路的地圖！

最後，這個概念在去年的遊戲產業中被應用到一個非常極致的狀況。在《看門狗：自由軍團》（Watch Dog: Legion）中，遊戲公司育碧（Ubisoft）採用這個方式生出了整座城市中的每一個人，包含語音、視覺與動作！若你對這個遊戲城市的生成方式有興趣，可以在YouTube 上搜尋「How Watch Dogs: Legion Works」看看他們是怎麼辦到的。

機率、遊戲、生活的連結

其實在數學中「機率」的概念，已經默默地融入到我們生活中的各項遊戲。不論是投擲硬幣、骰子、剪刀石頭布，甚至是你手機遊戲中的「抽卡」、「扭蛋」全都與機率有關，而數學也不全然是冷冰冰的數字，它也是可以很生活化的呢！