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2014-08-01Lissajous曲線 536 期

Author 作者游森棚 ∕ 任教臺灣師範大學數學系。

全國科展的季節又到了。擔任評審多年，每年數學組都有研究軌跡的作品——在圖形中讓某些量變動，然後觀察某個特殊點的軌跡。這類的問題，除非軌跡要出奇不意有趣，或者要有好的性質，否則容易成為孤立的觀察，最後變為冗長求方程式的計算，失了問題的本意。

這個月的專欄來介紹一個中學師生不太熟悉，但非常美麗的軌跡。我記得老科學教育館有一個裝置：一個漏斗懸掛在一組桿子之下，把沙子裝在沙漏中，桿子和沙漏擺動，漏下的沙子就會在地面上畫出一個曲線。比如，讓沙漏繞圈圈旋轉，漏出來的沙子軌跡就是一個圓。

想像一下我們拿著一條線，底部掛著沙漏。顯然，如果沙漏像單擺左右擺動，則沙子的軌跡就是來回重複的線段。但科教館的裝置要實驗的是以下的情境：一面讓沙漏左右擺動，而且拿著線的手也同時前後擺動，則沙子畫出什麼圖形？

用圖片來說明會更清楚：如圖一（左）的兩個單擺，左邊的單擺往東西向擺，右邊的單擺往南北向擺。筆尖安裝在右邊單擺的尖端。則讓兩個單擺一起擺，右邊的單擺在南北向擺的同時，也會因為左邊單擺的影響而位移。此時筆尖畫出什麼圖形？