文章專區

Take Home Message
• 隨著數位工具與製造技術的快速發展，人們與數學的隔閡正逐漸被打破。
• 以 3D 繪圖與 3D 建模為核心的 3D 技術讓原本靜態、抽象的數學世界，化為一個可視、可觸、可創造的空間。
• 3D 繪圖與 3D 建模不只是設計或工程領域的工具，也是教育創新的利器，尤其適合用於 STEAM（科學、科技、工程、藝術、數學）課程中。

數學可謂最抽象也最理性的學科， 它存在於符號、公式與邏輯推理之中，總讓人覺得遙不可及。其中，幾何學被視為是「連結抽象思維與具體世界的重要橋梁」，但在許多學習者腦海裡，其形象多為平面圖稿與公式推演，只能憑空想像，難以真實觸摸、觀察其立體結構。

3D 繪圖與建模技術的快速發展，正逐漸改變數學教學與學習的樣貌，不僅打破傳統幾何只停留在二維空間的限制，更讓數學在三維空間中成為能被看見、觸摸，甚至被創／改造的實體，將抽象思考與動手實踐緊密結合，促進「思維變實體」的學習轉化。接下來，筆者將帶領讀者初步認識3D 繪圖與建模，看它們如何在數學教育場域中活化幾何學習、幫助學習者從符號操作走向實體創作，進而發展出跨領域的空間素養與問題解決能力！

幾何：數學中的形與空間

幾何學，簡稱幾何，是數學中最早與人類實際生活緊密相關的分支之一。從古埃及的土地測量、古希臘的幾何學派、到現代的建築與工程，幾何總是能幫助我們連結抽象思考與真實結構。然而，當代課堂與教室中的幾何學習，往往仍停留在紙筆作業、公式推演與計算，學生通常只「看得到」平面示意，很難「摸到」或「做出」真正的空間結構。

我們以「柏拉圖立體」為例。傳統上，老師可能會讓學生用竹棒、吸管、紙模等材料製作這些立體，但受限於形狀複雜度與精準度，往往難以調整、修改與保存。幸運的是，3D 繪圖建模軟體和電腦輔助設計（computer aided design, CAD）的日漸普及，加諸 3D 印表機的售價與操作門檻降低，現代學生已有機會透過這些工具，間接或直接把腦海中的幾何概念建構成虛擬或實體的模型，這恰好補足了傳統紙筆教學的不足。就正四面體（正三角錐）的平面圖形來說，乍看之下很難讓人相信它所有的邊皆等長，但透過 CAD 軟體實際描繪與建模後，我們可以從中更清楚地理解正四面體的立體結構（圖一）。

 圖一 | 正四面體的平面圖形（左）與立體建模（右）。

化想像與推演於實物！開啟 3D 列印之旅

3D 繪圖：概念成形的第一步

立體設計流程的常見起點──3D 繪圖（3D drawing）是一種在虛擬三維空間中，使用滑鼠、觸控筆或其他輸入裝置拉出線條、畫出草圖，再依據幾何性質或原理延伸成平面或曲面的方法。

以雲端 CAD 建模平臺 Onshape 為例，學生只要能掌握幾何基礎概念，就能在 3D 空間中畫出直線、矩形、圓形、弧線等，然後利用繪圖工具將平面草圖上封閉的區域「擠」成立體物件。這種「所見即所得」的操作介面門檻極低，也讓學生更容易理解如截面、投影、對稱與旋轉等幾何概念。在教學實踐中，教師則可設計如「觀察三視圖以建構立體圖形」的活動：先讓學生理解立體圖形與三視圖間的關係，再經由觀察三視圖並使用 3D 繪圖軟體還原或重製原本完整的立體圖形（圖二）；這個過程不只是畫圖，更是空間感知與邏輯思維的鍛鍊。

圖二 | 三視圖，也就是前後、左右、俯仰視圖的總稱。

3D 建模：從線到面，再到立體

利用 3D 繪圖完成草圖後，就要來做 3D 建模（3D modeling）啦。3D 建模強調的是把線與面系統性地轉化為完整、可輸出的數位資料，包括建立封閉曲面、進行布林運算（例如移除、合併）、設定厚度與曲率，最終生成符合物理特性的數位模型。

像是 Tinkercad 這套新手友善的雲端 3D 建模軟體，就能讓我們使用現成的立方體（cube）、圓柱體（cylinder）、球體（sphere）等幾何形狀積木進行堆疊、組合與裁切，快速組成複雜物件。對小學生或初學者而言，這種積木式建模方法讓幾何從「數值推導」轉為「空間拼裝」，便於學習之餘，也能培養對體積、面積與對稱的直覺。

進階的學習者則可以玩玩前面提過的 Onshape 或Fusion 360 這類參數化建模軟體，它們能讓你練習更嚴謹的草圖繪製、尺寸標註、關聯性設定，這對日後學習工程製圖或商品設計有莫大幫助。舉著名的「魯賓之杯」（Rubin vase）為例，我們只需以紅線為中軸，繞著軸線 360 度旋轉那看似人臉側面輪廓的不規則曲線，就可輕易產生數位模型（圖三）。

圖三 | 將看似人臉側面輪廓的不規則曲線，以紅線為中軸轉一圈，就可生成立體的杯型。

3D 列印：從數位模型走向實體

畫完 3D 建模，下一個關鍵步驟就是把虛擬空間裡的數位模型「實體化」，而這正是 3D 列印（3D printing）的核心價值。3D 列印是一種「加法製造」技術（additive manufacturing），即透過材料的層層堆疊逐步構建數位模型，與傳統雕刻或切削這類「減法加工」技術相比，不需要模具與繁複工序就能將數位模型做成實體，而且材料浪費也比較少。另外，3D 列印還可以製作形狀複雜、內部結構精細的幾何立體，尤其適合數學模型的建立。就學校場域來說，桌上型的熔融沉積建模（fused deposition modeling, FDM）印表機最為常見，材料多為聚乳酸（polylactic acid, PLA）或丙烯腈－丁二烯－苯乙烯（acrylonitrile butadiene styrene, ABS），有安全、環保且操作簡便的特性。

當學生把在 3D 建模軟體中完成的數位模型輸出為stl 檔（常用於 3D 列印和 CAD 的檔案格式，以三角形網格描述 3D 物體的表面幾何形狀），再透過切片軟體進行路徑規劃產生 gcode 檔（用於指導機器動作的指令檔案）後，就可以送到 3D 印表機列印（圖四）。許多老師喜歡以「柏拉圖立體」或「阿基米德立體」當作一開始的幾何教學案例，因為學生可以在列印完成後親手摸到、比較這些經典立體。

圖四 | 於 CAD 軟體中繪製的數位模型與 3D 印表機印製出的實體。

盤點 3D 教學的優勢與困境

當 3D 繪圖、建模與列印完整串連後，學生就不會只停留在解題與畫圖的階段，而是真正創造一個可被測量、分析、應用的數學物件。透過這樣的流程，學生能發展空間視覺化（把平面草圖轉換成立體結構）、邏輯推理（如何設計草圖與結構，使它能順利列印與組裝）、 跨領域應用（從數學概念延伸到藝術、設計、科技）等諸多能力。有些老師會引導學生以幾何原理設計拼圖、玩具、可動結構、建築模型，甚至是校園內的公共藝術裝置等（圖五）。這讓學生不只練習數學，更是在解決真實世界裡的問題。

圖五 | 3D 教學現場以終為始，帶著學生從零開始設計、建模，最後做出實體。

只是， 許多老師常會有這樣的疑問：要怎麼開始？事實上，現在有許多免費或入門門檻低的 3D 工具，非常適合進行課堂嘗試 。課程設計上，不需要一開始就很複雜龐大，可以一堂課完成一個小模型，或結合數學課本單元，甚至做跨科合作。當學生完成數位模型後，可用 3D 印表機列印出實體，或以虛擬方式在社群媒體上分享（圖六）。許多學校也會辦小型「藝術展覽」或「成果發表會」，讓學生在同儕面前解說自己如何從草圖構思到成品製作，在培養表達能力的同時也增進學習成就感。

圖六｜教學現場不用一次就想發揮到技術的 100％，建模階段就已經可以展現接近實體的樣貌。

FREE 免費好用的3D繪圖與建模軟體!
這些軟體都可以讓使用者「畫」出自己想要設計的幾何物件，再輸出為可列印的檔案格式（例如 stl 檔），然後送入 3D 印表機中實體化。有關這些軟體的教學資源，也可在全球資訊網、網路影音平臺、社群媒體等輕易找到。

1. Onshape
為雲端專業 CAD 建模平臺，支援多人即時協作與版本控制，適合進行工程設計、教育專案與跨地協同開發。

2. Tinkercad
操作簡單、適合初學者的雲端 3D 建模工具，讓使用者能快速拖拉形狀、輕鬆創作並匯出列印模型，是入門 3D 設計與創客教育的理想平臺。

3. Blender
免費開源專業級 3D 創作工具，具備建模、動畫、渲染、視覺特效與影片剪輯功能，廣泛應用於藝術設計、動畫製作與遊戲開發領域。

4. Fusion 360
整合3D建模、CAD、製造（computer-aided manufacturing, CAM）與工程分析（computer-aided engineering, CAE）於一身的全方位平臺，適合創客、設計師與工程師從概念到製作的完整流程。

5. GeoGebra
結合幾何、代數、函數與統計的互動式數學工具，能即時動態呈現數學概念，幫助學習者在操作中理解抽象原理。

當然，將 3D 繪圖、建模與列印納入課堂，同樣也會面臨設備與經費、時間安排，以及教師專業發展等的挑戰 。 然而 ， 隨著近年軟硬體的日漸普及，許多學校開始共享設備或建立創客空間（maker space）， 也有不少教育平臺提供了能協助教師快速上手的教案 。 更值得期待的是 ， 生成式人工智慧 （ generative artificial intelligence, GAI）正快速結合 3D 領域，未來透過人工智慧（artificial intelligence, AI）輔助設計，將讓學生更容易從概念躍升至成品，開啟新的創作可能！

讓數學「成形」於生活之中

3D 繪圖作為形構思維的起點，讓使用者可以在虛擬空間中自由描繪線條、草圖與曲面，將抽象的幾何概念初步具象化；3D 建模進一步將這些草圖轉化為可度量、可分析、可製造的實體模型，使數學圖形不只是平面的示意，而是可觀察、可拆解、甚至可實際列印操作的立體物件。

從平面到立體，從螢幕到真實世界，3D 繪圖與建模的搭配串起數學概念與真實實踐。當學生親手把圖像繪成立體，再把立體做成實體，他們經歷的不只是技術操作，更是跨越抽象與真實、想像與創造的學習歷程。這樣的學習，不僅引發了學生對空間與形構的好奇，更為跨域創新奠定基礎。

延伸閱讀
丘成桐（2015）。3D 改變未來－泛談數學的 3D 應用。數理人文，(5)，8-20。