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Take Home Message
• 蜥蜴球一共有12 隻蜥蜴，仔細觀察每一隻蜥蜴的連結點會發現許多細節，像是三重和四重旋轉對稱。
• 艾雪並非以投影法將平面投射至球體上再雕刻出艾雪球體，而是憑藉著自身對視覺的直覺與對對稱性的理解，雕刻出精湛的球體作品。
• 艾雪曾經希望能在透明球體上刻出週期性圖案設計，然而一直未能實現夢想。現代數學家與電腦科學家已經利用模擬技術創造出新的球面鑲嵌圖案，突破了手工製作的限制。

如果你曾經看過荷蘭藝術家艾雪（M.C. Escher）的作品，那麼你一定對他的經典鑲嵌圖案印象深刻。在他的藝術世界裡，鳥、魚、蜥蜴等圖案彼此完美拼接，沒有縫隙，形成令人驚歎的數學美感。在《科學月刊》第 659 期，我們介紹過一個特別的雕刻作品――《蜥蜴球》（Reptile Sphere）（圖一 ）。

這顆球上遍布著緊密相連的蜥蜴，旋轉球面觀看的時候，蜥蜴一隻接著一隻，似乎有一種無限延伸的錯覺，令人驚歎！上面的圖案是否覺得似曾相似？這在艾雪平面鑲嵌中，可以算得上數一數二有名的圖案！仔細觀察這幅艾雪經典的蜥蜴平面鑲嵌（圖二），我們會發現它採用六邊形作為基本單元，類似蜂巢結構。尤其是三隻蜥蜴頭部連在一起，讓整體圖案更具對稱性。然而，這裡出現了一個數學上的難題――六邊形無法完美地鋪滿球面，所以直接把這樣的經典圖案球型化是辦不到的。

那麼艾雪的球面鑲嵌究竟是如何建構？這將帶領我們進入一場關於球面幾何與數學藝術的探索。現在，就讓我們開始來解析這顆艾雪球吧！

解構蜥蜴球，發現令人意外的結構菱形十二面體

一開始得先思考這顆球的幾何結構，一如筆者曾經在《科學月刊》第 659 期說明從平面鑲嵌過渡到三維空間時，正多面體可以作為球面鑲嵌結構上的支撐。

當筆者試圖解構蜥蜴球時，起初並沒有找到能夠直接解釋它的幾何結構的文獻資料。於是，筆者決定仔細觀察蜥蜴球並且開始研究，以球面上的特徵點作為標註點，或許就能夠發現一些意想不到的幾何規律。

從直覺上看，球面上有12 隻蜥蜴，我們或許會因此猜測它的結構與正十二面體有關，因為可以對應蜥蜴圖案的分布；然而，當我們仔細分析蜥蜴在球面上的對稱性與排列方式時，會發現有更多細節值得探索。首先是三隻蜥蜴頭部相連的地方（圖三a），轉了一圈發現有四處頭部相連；再來是蜥蜴左後腳相連的地方，也是由三隻蜥蜴的左後腳共同交會在一個點，共有四處（圖三b）；最後是蜥蜴側邊的交會點，共有六處（圖三c）。

這些標註的點分布，與菱形十二面體（rhombic dodecahedron） 的14 個頂點數量完全一致，包括八個三重旋轉對稱點與六個四重旋轉對稱點，這證實了這顆球的結構為菱形十二面體的球面變形，與擁有20 個頂點的正十二面體結構明顯不同。網路上有設計師製作艾雪球蜥蜴圖案在菱形十二面體與球面變換的3D 模型，可以作為圖案如何變形的參考，只是上面使用的圖案經過簡化，僅保留相關特徵。

現在我們已經確認了艾雪球的幾何結構，下一步便是探討如何在球面上建構蜥蜴圖案。由於菱形十二面體每一面均是內角分別為109.47°和 70.53°的菱形，當它變形為球面時，這些頂點會角度依據三重旋轉與四重旋轉調整為120°和90°。艾雪也確實曾在給日本根付雕刻師Masatoshi 雅俊 ( 中村時定) 的備註中指出，球面雕刻作品《魚球》（Sphere with Fish）的三重旋轉點實際上是內嵌於球體的立方體頂點（圖四），且魚球的幾何結構與本文提到的蜥蜴球相同。

那麼，蜥蜴圖案是如何變形成球面的呢？只要以正多面體外接球體（circumscribed sphere）的方式，就能夠將原本平面的圖案球型化。這實際上是屬於等角變形（conformal mapping）的投影法，也就是將平面圖案的每個點投射到外接球體上，使得該點與球心的夾角保持不變。不過儘管這些幾何推導令人著迷，仍有一個非常關鍵的問題必須探討：艾雪是用投影法在木頭上進行球面鑲嵌的雕刻創作嗎？回答這個問題前，讓我們來回顧一下當時艾雪的創作背景。……【更多內容請閱讀科學月刊第665期】