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• 拉海爾的畫作透過幾何圖案傳達數學哲理，並展現經驗與演繹的結合。
• 《經驗的寓意》畫作中結合蘇格拉底的哲學理念展現深刻的哲學內涵，並連結到經驗歸納和演繹證明。
•《幾何的寓意》描繪幾何比例在金字塔設計與大地測量中的應用，展現出幾何學在建築與測量中的實際功能與文化意涵。

拉海爾（Laurent de La Hyre）是一位17 世紀的法國畫家，他的繪畫雖被歸類為裝飾性較濃的巴洛克風格，但他部分作品中隱含的數學寓意與古希臘數學、哲學和文藝復興繪畫產生連結，這種風格在當時是一種獨特的存在。究竟在拉海爾繪畫作品中的幾何圖案包含了哪些隱喻呢？

從畢氏定理看經驗歸納到邏輯演繹

拉海爾於1649 年創作的《經驗的寓意》（Allegory of Experience，圖一）中，一位女子右手扶著一幅素描，左手食指引導觀者將注意力放在素描中的三個幾何圖形，幾何圖形下方寫著一句拉丁文「RERVM MAGISTRA」，意思為「萬物的導師」。但這句話究竟與畫中的三個圖形有什麼關係？

其中最容易辨識的是下方圖形，該圖形取自於古希臘數學家歐幾里得（Euclid）《幾何原本》（Elements）中的命題：畢氏定理的證明（圖三）。圖三中的三角形ABC 為直角三角形，透過證明正方形ABED 面積等於長方形AJKL 面積（黃色部分），和正方形BCGF 面積等於長方形CLKH 面積（藍色部分），可以證得線段AB的平方 ＋線段BC的平方 ＝線段AC的平方。而畫作左上角的圖形也是取自《幾何原本》的命題：「一線段在任意點分開，則以整個線段長為邊的正方形等於以分段長為邊的兩個正方形，加上分別以兩分段長為邊的長方形的兩倍（圖四）。」圖四可以清楚看出此關係，這也是兩數之和平方公式（a＋b）2 ＝ a² ＋2ab＋b²的幾何解釋。圖二裡左上圖的對角線是歐幾里得證明時所做的輔助線，不過在拉海爾的畫作中又代表什麼意義？依照現在的數學知識，已知這條對角線的長度是√2（a＋b），但√2 這個無理數在古希臘時代尚未出現，它在測量上代表的意義是以正方形對角線為邊長能夠作出面積兩倍大的正方形，此意涵和圖二裡畫作的右上圖有關。由於右上圖並沒有出現在《幾何原本》之中，可能另有寓意。根據古希臘哲學家柏拉圖（Plato）的《米諾篇》（Meno）記載，古希臘哲學家蘇格拉底（Socrates）為了向友人米諾（Meno）說明靈魂的不朽與轉世的概念，主張學習是一種前世記憶的回溯，因此與一位奴隸進行數學對話。

圖三 | 《經驗的寓意》所描繪的幾何圖形取自《幾何原本》。在直角三角形ABC 中，透過證明黃色正方形的面積等於黃色長方形面積，以及藍色正方形面積等於藍色長方形面積，驗證直角三角形斜邊的平方等於兩邊平方之和。

圖四 | 《幾何原本》中提到一線段在任意點分開，則以整個線段長為邊的正方形［（a＋b）²］等於以分段長為邊的兩個正方形（a²＋b²），加上分別以兩分段長為邊的長方形的兩倍（2ab 方），即為兩數之和的平方公式圖解。

首先蘇格拉底畫了一個邊長為2 的正方形ABCD（圖五左），確認這個奴隸知道正方形的定義和面積的算法後，蘇格拉底要求他畫出一個面積兩倍大的正方形。奴隸於是畫了一個邊長為兩倍（邊長等於4）的正方形AEGI（圖五中）。但蘇格拉底並沒有直接指出錯誤，而是藉由一連串的質疑、詰問和引導，讓奴隸察覺正方形AEGI 的面積其實是16，而若取四個正方形各自的對角線所形成的正方形BFHD，它的面積才是原本正方形的兩倍大（圖五右）。所以，拉海爾似乎是想藉著這三個圖形，串連起畢氏定理的證明和應用。

圖五 | 《米諾篇》中兩倍大正方作圖。要畫出正方形ABCD（左）兩倍面積的正方形，其邊長應取自原正方形的對角線（右），而不是2 倍邊長（中）。

圖六 | 古巴比倫泥板中的畢氏定理，圖上的數字為60 進位。經轉換為10 進位後，說明一個邊長為1 的正方形對角線長為√2；若正方形邊長為30，對角線長為30 √2。（Yale Peabody Museum of Natural History, public domain, Wikimedia Commons）

至於畫作中下方的拉丁文又是代表什麼？拉丁文有句格言：「RERVM MAGISTRA EXPERIENTIA」（經驗是萬物的導師），這也是這幅畫名稱的由來。雖然《幾何原本》是以邏輯演繹的方式證明畢氏定理，但早在古埃及和古巴比倫時代，此證明已被應用在實際的測量經驗之中。圖六是古巴比倫泥板中的畢氏定理，泥板上凹陷的刻痕是楔形文字的數字符號。由於古巴比倫採用60 進位，……【更多內容請閱讀科學月刊第663期】